Hubungan Antara Kemampuan Dasar Matematika, Aktivitas Dan Tingkat Kesukaran Butir Soal

Tingkat kesukaran empiris butirsoal dapat diperoleh dengan memperhitungkan aspek-aspek kemampuan dasar matematika dan banyaknya aktivitas (langkah-langkah penyelesaian) yang diperlukan untuk penyelesaian masalah. Butir soal yang sangat mudah hanya memerlukan sedikit langkah penyelesaian dan kemampuan dasar, sedangkan butir yang paling sukar memerlukan lebih banyak langkah penyelesaian dan kemampuan dasar matematika yang lebih kompleks untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.Tingkat kesukaran tergantung pada banyaknya aktivitas dan kemampuan dasar matematika yang diperlukan. Berikut ini akan diuraikan hubungan 7 (tujuh) kemampuan dasar matematika dan banyaknya aktivitas terhadap tingkat kesukaran butir soal.

• Communication. Kemampuan berkomunikasi peserta tes sangat mempengaruhi level dan tingkat kemampuan peserta tes untuk menyelesaikan permasalahan. Misalnya aspek reseptif komunikasi, yaitu faktor-faktor yang meliputi panjang dan kompleksitas teks yang dibaca dan ditafsirkan, pengenalan terhadap ide-ide atau informasi yang disajikan dalam teks atau objek, sejauh mana informasi yang diperlukan sesuai dengan kebutuhan, apakah informasi tersebut sesuai dengan urutan proses berpikir yang diperlukan untuk menafsirkan dan menggunakan informasi seperti teks, grafik, diagram, dan tabel. Untuk aspek ekspresif komunikasi tingkat kompleksitas rendah, hanya menuntut penyediaan jawaban numerik. Sebaliknya untuk pertanyaan dengan tingkat kesukaran tinggi, memerlukan penjelasan lisan atau tertulis serta pembuktian terhadap hasil juga diperlukan. Dengan demikian,  kemampuan  mengomunikasikan ide-ide atau gagasan harus tinggi. 
• Mathematising.  Dalam beberapa kasus, proses matematisasi tidak diperlukan,  karena  permasalahannya sudah  dinyatakan  dalam bentuk yang cukup matematis, atau model matematika dari situasi nyata cukup eksplisit untuk memecahkan masalah. Sebaliknya pada butir dengan tingkat kesukaran tinggi,  kemampuan matematisasi  yang lebih tinggi  sangat diperlukan manakala  permasalahan dimunculkan  dalam bentuk  stimulus  yang sangat kompleks karena harus menafsirkandan menerjemahkan langsung dari situasi kedalam  model  matematika (misalnya struktur dan konseptualisasi situasi dengan cara yang relevan, mengidentifikasi dan  memilih variabel yang relevan, melakukan pengukuran yang relevan, dan/atau membuat diagram). 
• Representation.Walaupun  merepresentasi  merupakan kemampuan dasar matematika terendah, tetapi kemampuan ini sangat diperlukan ketika permasalahan disajikan dalam bentuk situasi yang kompleks.  Misalnya permasalahan disajikan dalam bentuk kombinasi beberapa situasi baik dalam bentuk grafik,  tabel, atau diagram tertentu. Kesuksesan peserta tes untuk menjawab permasalahan yang diberikan sangat tergantung pada kemampuan representasi dan menginterpretasi yang tinggi dari stimulus yang disajikan. 
• Reasoning and argument,  untuk permasalahan yang mudah hanya memerlukan sedikit penalaran  dan argumen.  Pada permasalahan dengan kompleksitas yang lebih tinggi  (butir dengan tingkat kesukaran tinggi), memerlukan sejumlah penalaran dan kemampuan berargumen, kemampuan menghubungkan informasi yang berbeda menjadi sebuah pengertian  yang memerlukan banyak  langkah penyelesaianmelalui  proses penalaran. Disamping itu, permasalahan yang kompleks memerlukan kemampuan mensintesa dan mengevaluasi sebuah informasi sehingga peserta tes akhirnya dapat mengkreasi sebuah kesimpulan berdasarkan alur berpikir yang memerlukan aspek penalaran dan argumen yang tinggi. 
• Devising strategies for solving problems. Ada kalanya suatu permasalahan disajikan dalam bentuk sederhana, sehingga tidak memerlukan banyak pertimbangan untuk pemilihan strategi penyelesaian.  Sebaliknya pada permasalahan yang memiliki tingkat kesukaran yang tinggi, memerlukan banyak pertimbangan dalam memilih solusi yang tepat dan efisien. Selain itu dibutuhkan kemampuan untuk merancang dan membangun strategi baru yang tidak lazim digunakan orang yang disintesa dari beberapa strategi yang sudah ada sebelumnya.  Dalam tahapan mensintesa beberapa strategi yang sudah ada tersebut, diperlukan kemampuan mengevaluasi.  Kemampuan untuk melakukan evaluasi terhadap beberapa strategi sebelumnya, memungkinkan seseorang dapat menciptakan rancangan strategi baru untuk memecahkan masalah. 
• Using symbolic, formal and technical language and operations. Kebutuhan kemampuan dasar ini sangat bervariasi dalam berbagai permasalahan. Dalam butir  soal  yang mudah,  hanya sedikit  aturan matematika atau  simbol matematika yangdiperlukan di luar perhitungan aritmatika dasar, karena hanya beroperasi dengan angka-angka kecil atau mudah  serta menggunakan bahasa yang sederhan.  Untuk butir  soal  dengan kesulitan yang tinggi memerlukan kemampuan penggunaan simbol matematika yang tinggi ditandai oleh kebutuhan untuk penggunaan eksplisit dan manipulasi simbol-simbol (misalnya pada aljabar dengan menata ulang rumus), atau penggunaan multi aturanmatematika, definisi, konvensi, prosedur atau formula menggunakan kombinasi beberapa hubungan atau konsep simbolis. 
• Using mathematical tools.  Pada butir-butir yang memerlukan perhitungan sederhana, kemampuan penggunaan alat bantu matematika tidak begitu penting. Tingginya tingkat kemampuan menggunakan alat yang melibatkan urutan proses, atau menghubungkan informasi yang berbeda dalam situasi masalah yang kompleks akan muncul ketika permasalahan disajikan dengan tingkat kesukaran tinggi.